Бабурин в 2013 году дебютировал за основной состав «Зенита», но так и не закрепился в основном составе, и за 6 лет провел за первую команду питерцев только 6 матчей, не пропустив при этом ни разу. Тем не менее, стал чемпионом России в составе 2014/15. Также выступал за «Зенит-2» в первенстве ФНЛ, проведя за эту команду 89 матчей. В прошлом сезоне был арендован «Рубином», в составе которого провел 6 игр. Выступал за сборные России U-17, U-19 и U-21.
